NumPy 矩阵相乘

在线性代数中，矩阵相乘（又称矩阵乘法）是一种核心运算，需满足特定维度条件：若矩阵 A 的维度为 (m, n)，矩阵 B 的维度为 (n, p)，则它们的乘积 AB 的维度为 (m, p)。

其中，矩阵相乘具有以下性质：

• 矩阵相乘不满足交换律，即 AB ≠ BA。
• 矩阵相乘满足结合律，即 (AB)C = A(BC)。
• 矩阵相乘满足分配律，即 A(B+C) = AB + AC。

NumPy 提供了 3 种矩阵相乘的方法，适用于不同的场景。

在实际开发中，我们应该遵循以下 2 个最佳实践：

• 优先使用 matmul() 函数或 “@” 运算符来执行矩阵运算，避免 dot() 函数在复杂维度下的意外行为。
• 处理向量时，显式使用 reshape() 方法可以确保维度正确（如将一维数组转为二维行 / 列向量）。

numpy.dot() 实现矩阵相乘

在 NumPy 中，我们可以使用 dot() 函数来计算两个数组的点积。dot() 函数的行为取决于输入的维度：

• 一维数组：计算向量内积（等价于标量积）。
• 二维数组：标准的矩阵乘法。
• 高维数组（≥3）​：按最后一个轴与倒数第二个轴进行乘积。

语法：

numpy.dot(arr1, arr2, out=None)

说明：

dot() 函数接收以下 3 个参数。

• arr1（必选）：第 1 个输入数组。
• arr2（必选）：第 2 个输入数组。
• out（可选）：用于指定输出数组（需与结果维度匹配）。

示例 1：二维矩阵相乘（标准用法）

import numpy as np

a = np.array([[1,2], [3,4]])
b = np.array([[5,6], [7,8]])
result = np.dot(a, b)

print(result)

运行结果如下。

[[19 22]
 [43 50]]

示例 2：一维向量内积

import numpy as np

a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])
result = np.dot(a, b)

print(result)

运行结果如下。

11

分析：

当输入是一维数组时，dot() 会计算它们的内积，其结果为一个标量（即一个单一的数值）：1*3 + 2*4 = 11。

示例 3：三维张量积（广播规则）

import numpy as np

a = np.ones((2, 3, 4))
b = np.ones((2, 4, 5))
result = np.dot(a, b).shape

print(result)

运行结果如下。

(2, 3, 2, 5)

分析：

在这个例子中，dot() 函数会将最后一个轴（4）与第二个数组的倒数第二个轴（4）相乘，从而生成四维数组（2, 3, 2, 5）。

numpy.matmul() 实现矩阵相乘

在 NumPy 中，我们还可以使用 matmul() 函数来计算两个数组的矩阵乘积。

语法：

numpy.matmul(arr1, arr2, out=None)

说明：

matmul() 函数常用参数有以下 3 个。

• arr1（必选）：第 1 个输入数组。
• arr2（必选）：第 2 个输入数组。
• out（可选）：用于指定输出数组。

matmul() 是专用的矩阵乘法函数，它严格遵循线性代数规则：

• 不支持标量乘法：输入必须是至少二维数组。
• 批量处理：若输入为三维数组（如形状为 (k, m, n) 和 (k, n, p)），则返回形状为 (k, m, p) 的数组。
• 广播规则：允许数组在非矩阵维度上广播（如形状为 (m, n) 和 (n, p) 的数组可与 (j, m, n) 和 (j, n, p) 广播）。

示例 4：标准二维矩阵乘法

import numpy as np

a = np.array([[1,2], [3,4]])
b = np.array([[5,6], [7,8]])
result = np.matmul(a, b)

print(result)

运行结果如下。

[[19 22]
 [43 50]]

分析：

np.matmul(a, b) 与 np.dot(a, b) 结果是一样的。

示例 5：批量矩阵乘法（三维数组）

import numpy as np

a = np.array([[[1,2], [3,4]], [[5,6], [7,8]]])           # 形状：(2, 2, 2)
b = np.array([[[9,10], [11,12]], [[13,14], [15,16]]])    # 形状：(2, 2, 2)
result = np.matmul(a, b)

print(result.shape)    # 形状
print(result[0])       # 第一个批量结果

运行结果如下。

(2, 2, 2)
[[31 34]
 [71 78]]

分析：

matmul() 会将两个 2×2×2 的数组看作是两个 “批次” 的 2×2 矩阵。它分别计算第一个批次的 a[0] 和 b[0] 的乘积，以及第二个批次的 a[1] 和 b[1] 的乘积，并将结果合并成一个形状为 (2, 2, 2) 的新数组。

示例 6：自动广播

import numpy as np

a = np.array([[1,2], [3,4]])          # (2, 2)
b = np.array([[[5,6], [7,8]]])        # (1, 2, 2)
result = np.matmul(a, b).shape

print(result)

运行结果如下。

(1, 2, 2)

分析：

当形状 (2, 2) 与 (1, 2, 2) 的矩阵进行相乘时，前者会被广播为 (1, 2, 2)，因此最终结果的形状为 (1, 2, 2)。

对于广播规则是怎样的，我们在后续的 “NumPy 广播机制” 一节中会详细介绍。

“@” 实现矩阵相乘

在 NumPy 中，我们还可以使用 “@” 运算符来计算两个数组的矩阵乘积。

语法：

ndarray @ ndarray

说明：

这里的 ndarray 指的是 ndarray 对象。

示例 7：@ 运算符的基本用法

import numpy as np

arr1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
arr2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
arr3 = arr1 @ arr2         # 矩阵相乘

print(arr3)

运行结果如下。

[[19 22]
 [43 50]]

分析：

arr1 @ arr2 的结果与 numpy.matmul(arr1, arr2) 完全相同，但语法更简洁，也更直观。在实际开发中，如果想要进行矩阵乘法，我们更加推荐使用 “arr1 @ arr2” 这种方式。