C++ chrono

在 C++ 中，标准库的 <cmath> 头文件提供了一整套现成的数学函数。平时遇到求绝对值、次方、平方根、对数或三角函数等运算时，我们不需要自己去写循环或推导公式，引入该头文件即可直接调用。

这里列举常用的数学函数只是方便小伙伴们平时查阅，并不是让大家死记硬背，后面写代码时用上几次自然就熟了。常用的数学函数如下表所示。

基础数学函数

在 C++ 中，调用 <cmath> 里的函数前需要先通过 #include <cmath> 引入头文件，使用时统一加上 std:: 前缀。下面我们先通过一个简单例子，熟悉这些数学函数的基本调用方式。

示例 1：调用基础数学函数

#include <cmath>
#include <iostream>

int main() {
    std::cout << std::abs(-25) << '\n';      // 求绝对值
    std::cout << std::pow(2, 5) << '\n';     // 计算 2 的 5 次方
    std::cout << std::sqrt(64.0) << '\n';    // 求算术平方根
    std::cout << std::round(6.8) << '\n';    // 四舍五入取整
    return 0;
}

运行结果如下。

25
32
8
7

分析：

上面这个例子依次调用了 4 个常用数学函数。其中，std::abs() 用于求绝对值。由于 C++ 支持函数重载，它既能接收 int 整数，也能直接接收 double 浮点数。

后面的 std::pow()、std::sqrt() 和 std::round() 分别用于计算次方、求算术平方根和四舍五入取整。这几个函数默认返回的都是 double 类型，只是 std::cout 在打印整数值时会自动省略末尾的 .0。

关于这几类高频运算的具体应用场景与防坑细节，我们在接下来的几节中会分别展开介绍。

指数与对数运算

自然常数 e 的值约为 2.71828。在科学计算、数据分析或计算二叉树高度时，我们经常会用到以 e 为底的指数运算以及不同底数的对数运算。

语法：

std::exp(x)
std::log(x)
std::log10(x)
std::log2(x)

说明：

这 4 个函数默认都返回 double 类型，各自的作用如下：

• std::exp(x)：计算自然常数 e 的 x 次方，例如 std::exp(1.0) 的结果约为 2.71828。
• std::log(x)：计算以 e 为底的自然对数，对应数学中的 ln(x)，要求参数 x > 0。
• std::log10(x)：计算以 10 为底的常用对数，对应数学中的 lg(x)，要求参数 x > 0。
• std::log2(x)：计算以 2 为底的对数，要求参数 x > 0，常用于计算二进制位数。

这里有一个初学者很容易搞混的细节：在中学数学里，单独写 “log” 通常表示以 10 为底的对数。但在 C++、Python、Java 等编程语言中，std::log(x) 表示的都是以 e 为底的自然对数。下面我们来看一个例子。

示例 2：指数与对数运算

#include <cmath>
#include <iostream>

int main() {
    double e = std::exp(1.0);                  // 计算 e 的 1 次方
    std::cout << e << '\n';
    std::cout << std::log(e) << '\n';          // 以 e 为底
    std::cout << std::log10(100.0) << '\n';    // 以 10 为底
    std::cout << std::log2(8.0) << '\n';       // 以 2 为底
    return 0;
}

运行结果如下。

2.71828
1
2
3

分析：

double e = std::exp(1.0); 表示计算 e 的 1 次方，也就是得到自然常数 e 本身的近似值。由于以 e 为底的指数与自然对数互为逆运算，接下来调用 std::log(e) 时结果正好还原为 1。

对于后面两行代码，因为 10 的 2 次方等于 100，所以 std::log10(100.0) 返回 2。同理，2 的 3 次方等于 8，所以 std::log2(8.0) 返回 3。

平时如果要算以 10 为底的对数，小伙伴们记得调用 std::log10()，不要误写成 std::log()。

三角函数与弧度换算

在图形绘制、游戏开发或物理模拟中，我们经常会用到正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。使用这几个函数时，小伙伴们要特别注意：C++ 三角函数接收的参数单位是 “弧度”，而不是日常习惯说的 “角度”。

语法：

std::sin(rad)
std::cos(rad)
std::tan(rad)

说明：

参数 rad 表示弧度值，其中 rad 是英文 “radian（弧度）” 的缩写。如果我们手头拿到的是 30°、45°、60° 这样的角度值，需要先按数学公式 “弧度 = 角度 × π / 180.0” 换算成弧度，再传给三角函数计算。

示例 3：角度换算与三角函数

#include <cmath>
#include <iostream>

int main() {
    const double PI = 3.141592653589793;

    double rad30 = 30.0 * PI / 180.0;    // 30 度转弧度
    double rad60 = 60.0 * PI / 180.0;    // 60 度转弧度
    double rad45 = 45.0 * PI / 180.0;    // 45 度转弧度

    std::cout << std::sin(rad30) << '\n';
    std::cout << std::cos(rad60) << '\n';
    std::cout << std::tan(rad45) << '\n';
    return 0;
}

运行结果如下。

0.5
0.5
1

分析：

在这个例子中，我们先通过 30.0 * PI / 180.0 等算式将角度换算为弧度，再传给 std::sin()、std::cos() 和 std::tan() 计算，得到的 0.5、0.5 和 1 与数学中的特殊角三角函数值一致。

需要特别注意的是，千万不要把角度数值直接传进三角函数里。下面这种写法就是错误的，程序会把 30.0 当成 “30 弧度”（约 1718.87°）去计算，算出来的结果是 -0.988032 而不是 0.5。

double wrongVal = std::sin(30.0);    // 误把角度直接传入

另外，圆周率 PI 在计算机中只能保存有限位的近似值。当我们计算 cos(90°) 或 sin(180°) 这类理论上等于 0 的结果时，可能会输出 6.12323e-17 这样极接近 0 的微小小数，这属于正常的浮点数精度现象。

特殊浮点值：NaN 与 inf

在使用数学函数时，并不是传入任意数字都能算出有意义的实数。比如在实数范围内，平方根要求被开方数大于或等于 0，而对数要求传入的参数必须大于 0。

一旦传入了超出有效范围的数值，比如对负数开平方或对 0 求对数，C++ 浮点数运算并不会让程序崩溃退出，而是会返回特殊的浮点值标记。下面我们来看一个例子。

示例 4：特殊浮点值与检测函数

#include <cmath>
#include <iostream>

int main() {
    double badSqrt = std::sqrt(-4.0);
    double badLog = std::log(0.0);

    std::cout << badSqrt << '\n';
    std::cout << badLog << '\n';
    std::cout << "是否为 NaN：" << std::isnan(badSqrt) << '\n';
    std::cout << "是否为无穷大：" << std::isinf(badLog) << '\n';
    return 0;
}

运行结果如下。

-nan
-inf
是否为 NaN：1
是否为无穷大：1

分析：

从运行结果可以看出，当参数超出有效范围时，程序分别产生了以下 2 种特殊浮点值：

• NaN（非数）：是英文 “Not a Number” 的缩写，表示 “不是一个有效数字”，在不同编译器下会输出为 nan 或 -nan。对负数开平方或计算 0.0 / 0.0 时都会产生该值，我们可以使用 std::isnan() 函数来检测。
• inf（无穷大）：是英文 “infinity” 的缩写，分为正无穷 inf 和负无穷 -inf。像 std::log(0.0) 趋向负无穷大，或者正数除以 0.0 时就会产生该值，我们可以使用 std::isinf() 函数来检测。

检测函数返回的布尔值 true 在控制台中默认打印为 1。这里要特别留意 NaN 的一个特殊规则：它与任何值用 == 比较，结果永远是 false，哪怕写成 badSqrt == badSqrt 和它自己比也是 false。

因此想要判断计算结果是否为 NaN，我们必须调用 std::isnan() 函数，不能使用 == 来判断。